New fast smoothers for multiscale systems

We consider the smoothing problem for multiscale stochastic models based on the wavelet transform. These models involve processes indexed by the nodes of a dyadic tree. Each level of the dyadic tree represents one scale or resolution of the process, thus moving upward on the tree divides the resolution by 2 while moving downward multiplies it by 2. The processes are built according to a recursion in scale from coarse to ne to which random details are added. To operate the change in scale, one must perform an interpolation. This is achieved using the QMF pair of operators attached to a wavelet transform. These models have proved to be of great value to capture textures or fractal-like processes, and also to perform multiresolution sensor fusion. Up to now however, fast smoothing algorithms were available only in the case of the Haar transform. We now provide algorithms that handle any orthogonal or biorthogonal wavelets. A smoothing theory is developped to deene the eld of fast algorithms and underline the diiculties arizing with general models. We then prove that orthogonality properties of wavelets are the gate to fastness. Nouveaux lisseurs rapides pour syst emes multir esolution R esum e : Nous etudions le probl eme du lissage pour des mod eles de signaux al eatoires multir esolution, fond es sur la transformation en ondelettes. Les signaux mod elis es vivent sur un arbre dyadique. Chaque niveau de l'arbre repr esente une r esolution du signal, de telle sorte qu'en remontant d'un niveau dans l'arbre la r e-solution est divis ee par 2, alors qu'en descendant d'un niveau elle est multipli ee par 2. Les processus sont construits sur cette structure a l'aide d'une r ecurrence en echelle, du grossier vers le n, a laquelle on ajoute des d etails al eatoires. La r e-currence demande donc des op erateurs de changement d' echelle, et en particulier des interpolateurs puisqu'il s'agit d'augmenter le nombre d' echantillons. Pour cela, on utilise la paire d'op erateurs QMF associ ee a une transformation en ondelettes. Ces mod eles se sont d ejj a r ev el es tr es adapt es a la description de textures ou de signaux fractals. Ils permettent en outre d'eeectuer la fusion de donn ees multir eso-lution. Jusqu'' a pr esent toutefois, des lisseurs rapides n' etaient disponibles que pour la transformation associ ee a l'ondelette de Haar. Nous pr esentons …